58. Определите знаки следующих выражений, если 0 < α < π/2: 1) sin(π/2 + α); 2) cos(3π/2 + α); 3) sin(π + α); 4) cos(3π/2 − α); 5) sin(3π/2 + α); 6) sin(3π + α); 7) tg(π + α); 8) ctg(π − α); 9) sin(2π − α); 10) cos(2π + α); 11) tg(3π/2 + α); 12) tg(1,57 − α).

Так как \(0<\alpha<\pi/2\), используем четверть, в которой находится каждый угол, и периодичность тригонометрических функций.

1. \(\sin(\pi/2+\alpha)=\cos\alpha>0\): положительный.
2. \(\cos(3\pi/2+\alpha)=\sin\alpha>0\): положительный.
3. \(\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha<0\): отрицательный.
4. \(\cos(3\pi/2-\alpha)=-\sin\alpha<0\): отрицательный.
5. \(\sin(3\pi/2+\alpha)=-\cos\alpha<0\): отрицательный.
6. \(\sin(3\pi+\alpha)=-\sin\alpha<0\): отрицательный.
7. \(\operatorname{tg}(\pi+\alpha)=\operatorname{tg}\alpha>0\): положительный.
8. \(\operatorname{ctg}(\pi-\alpha)=-\operatorname{ctg}\alpha<0\): отрицательный.
9. \(\sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha<0\): отрицательный.
10. \(\cos(2\pi+\alpha)=\cos\alpha>0\): положительный.
11. \(\operatorname{tg}(3\pi/2+\alpha)=-\operatorname{ctg}\alpha<0\): отрицательный.
12. Для записи \(\operatorname{tg}(1{,}57-\alpha)\) знак зависит от \(\alpha\): положительный при \(0<\alpha<1{,}57\), равен нулю при \(\alpha=1{,}57\), отрицательный при \(1{,}57<\alpha<\pi/2\). Здесь 1,57 — десятичное число, не точное значение \(\pi/2\).

Если в пункте 12 вместо десятичного числа имелось в виду \(\pi/2\), то \(\operatorname{tg}(\pi/2-\alpha)>0\) при всём заданном интервале.