583. Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны 10 см, 10 см и 12 см.

Пусть O — центр сферы, а H — его проекция на плоскость треугольника. Так как все стороны треугольника касаются сферы, точка H является центром вписанной окружности треугольника.

1. Найдём высоту, проведённую к основанию длиной 12 см:
   \(h=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=8\) см.
2. Площадь треугольника: \(S=\frac12\cdot12\cdot8=48\) см².
3. Полупериметр: \(p=\frac{10+10+12}{2}=16\) см.
4. Радиус вписанной окружности: \(r=\frac{S}{p}=\frac{48}{16}=3\) см.
5. В сечении плоскостью, проходящей через центр сферы и перпендикулярной стороне треугольника, получаем прямоугольный треугольник:
   \(R^2=d^2+r^2\), где \(R=5\) см. Поэтому
   \[d=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\text{ см}.\]

Ответ: 4 см.