584. Все стороны треугольника ABC касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если AB = 13 см, BC = 14 см, CA = 15 см.

Пусть O — центр сферы, а H — его проекция на плоскость треугольника. Точка H является центром вписанной окружности треугольника.

1. Полупериметр треугольника: \(p=\frac{13+14+15}{2}=21\) см.
2. По формуле Герона площадь равна:
   \[S=\sqrt{21\cdot(21-13)\cdot(21-14)\cdot(21-15)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84\text{ см}^2.\]
3. Радиус вписанной окружности: \(r=\frac{S}{p}=\frac{84}{21}=4\) см.
4. Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника:
   \[d=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt9=3\text{ см}.\]

Ответ: 3 см.