59. Докажите, что функции являются нечётными: а) $f(x)=x^3\sin x^2$; б) $f(x)=x^2(2x-x^3)$; в) $f(x)=x^5\cos 3x$; г) $f(x)=x(5-x^2)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 59. Докажите, что функции являются нечётными: а) $f(x)=x^3\sin x^2$; б) $f(x)=x^2(2x-x^3)$; в) $f(x)=x^5\cos 3x$; г)…$ Фото задания

59. Докажите, что функции являются нечётными: а) $f(x)=x^3\sin x^2$; б) $f(x)=x^2(2x-x^3)$; в) $f(x)=x^5\cos 3x$; г) $f(x)=x(5-x^2)$.

Accepted Answer

Функция нечётная, если её область определения симметрична относительно нуля и для всех допустимых $x$ выполняется $f(-x)=-f(x)$. Все данные функции определены при любых действительных $x$.

а) $f(-x)=(-x)^3\sin((-x)^2)=-x^3\sin x^2=-f(x)$.
б) $f(-x)=(-x)^2(2(-x)-(-x)^3)=x^2(-2x+x^3)=-x^2(2x-x^3)=-f(x)$.
в) $f(-x)=(-x)^5\cos(3(-x))=-x^5\cos 3x=-f(x)$, поскольку косинус — чётная функция.
г) $f(-x)=(-x)(5-(-x)^2)=-x(5-x^2)=-f(x)$.

Ответ: все четыре функции нечётные.

59. Докажите, что функции являются нечётными: а) \(f(x)=x^3\sin x^2\); б) \(f(x)=x^2(2x-x^3)\); в) \(f(x)=x^5\cos 3x\); г) \(f(x)=x(5-x^2)\).

Ответ: