59. Упростите выражение: а) (2ab/(a²−b²) + (a−b)/(2a+2b)) · 2a/(a+b) + b/(b−a); б) y/(x−y) − (x³−xy²)/(x²+y²) · (x/(x−y)² − y/(x²−y²)).

а)

Разложим разности квадратов и приведём сумму в скобках к общему знаменателю:

\(\displaystyle \left(\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{2(a+b)}\right)\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}\)

\(\displaystyle =\left(\frac{4ab+(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}\right)\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}\)

Так как \(4ab+(a-b)^2=(a+b)^2\), получаем:

\(\displaystyle \frac{a+b}{2(a-b)}\cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}=\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b}=1\).

б)

Разложим числитель второго дробного множителя:

\(x^3-xy^2=x(x-y)(x+y)\).

Преобразуем выражение в скобках:

\(\displaystyle \frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{(x-y)(x+y)}=\frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)^2(x+y)}=\frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}\).

Тогда произведение равно:

\(\displaystyle \frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}\cdot\frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}=\frac{x}{x-y}\).

Следовательно, всё выражение:

\(\displaystyle \frac{y}{x-y}-\frac{x}{x-y}=\frac{y-x}{x-y}=-1\).

Ограничения: в пункте а) \(a\ne b\), \(a\ne -b\); в пункте б) \(x\ne y\), \(x\ne -y\), \(x^2+y^2\ne0\).

Ответ: а) 1; б) −1.