591. Найдите синус, косинус и тангенс углов A и B треугольника ABC с прямым углом C, если: а) BC = 8, AB = 17; б) BC = 21, AC = 20; в) BC = 1, AC = 2; г) AC = 24, AB = 25.

Так как угол C прямой, сторона AB — гипотенуза. Для угла A: \(\sin A=\frac{BC}{AB}\), \(\cos A=\frac{AC}{AB}\), \(\tan A=\frac{BC}{AC}\). Для угла B: \(\sin B=\frac{AC}{AB}\), \(\cos B=\frac{BC}{AB}\), \(\tan B=\frac{AC}{BC}\).

1. а) По теореме Пифагора: \(AC=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15\).
   \(\sin A=\frac{8}{17},\ \cos A=\frac{15}{17},\ \tan A=\frac{8}{15}\).
   \(\sin B=\frac{15}{17},\ \cos B=\frac{8}{17},\ \tan B=\frac{15}{8}\).
2. б) \(AB=\sqrt{21^2+20^2}=\sqrt{841}=29\).
   \(\sin A=\frac{21}{29},\ \cos A=\frac{20}{29},\ \tan A=\frac{21}{20}\).
   \(\sin B=\frac{20}{29},\ \cos B=\frac{21}{29},\ \tan B=\frac{20}{21}\).
3. в) \(AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5\).
   \(\sin A=\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5},\ \cos A=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5},\ \tan A=\frac12\).
   \(\sin B=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5},\ \cos B=\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5},\ \tan B=2\).
4. г) По теореме Пифагора: \(BC=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{49}=7\).
   \(\sin A=\frac{7}{25},\ \cos A=\frac{24}{25},\ \tan A=\frac{7}{24}\).
   \(\sin B=\frac{24}{25},\ \cos B=\frac{7}{25},\ \tan B=\frac{24}{7}\).

Ответ: а) \(A: \sin A=\frac{8}{17},\ \cos A=\frac{15}{17},\ \tan A=\frac{8}{15};\ B: \sin B=\frac{15}{17},\ \cos B=\frac{8}{17},\ \tan B=\frac{15}{8}\).
б) \(A: \frac{21}{29},\frac{20}{29},\frac{21}{20};\ B: \frac{20}{29},\frac{21}{29},\frac{20}{21}\).
в) \(A: \frac{\sqrt5}{5},\frac{2\sqrt5}{5},\frac12;\ B: \frac{2\sqrt5}{5},\frac{\sqrt5}{5},2\).
г) \(A: \frac{7}{25},\frac{24}{25},\frac{7}{24};\ B: \frac{24}{25},\frac{7}{25},\frac{24}{7}\).