599. Радиусы сечений сферы двумя взаимно перпендикулярными плоскостями равны r₁ и r₂. Найдите площадь сферы, если сечения имеют единственную общую точку.

Пусть радиус сферы равен R, а расстояния от её центра до плоскостей сечений — d₁ и d₂. Радиус сечения плоскостью связан с радиусом сферы формулой \(r^2=R^2-d^2\). Поэтому \(d_1^2=R^2-r_1^2\) и \(d_2^2=R^2-r_2^2\).

Плоскости взаимно перпендикулярны, поэтому расстояние от центра сферы до линии их пересечения в квадрате равно \(d_1^2+d_2^2\). Поскольку сечения имеют ровно одну общую точку, линия пересечения плоскостей касается сферы, и это расстояние равно \(R\). Значит, \(d_1^2+d_2^2=R^2\).

Подставим выражения для расстояний: \((R^2-r_1^2)+(R^2-r_2^2)=R^2\), откуда \(R^2=r_1^2+r_2^2\).

Площадь сферы равна \(S=4\pi R^2\), следовательно, \(S=4\pi(r_1^2+r_2^2)\).

Ответ: \(4\pi(r_1^2+r_2^2)\).