5cos 2x + 11cosx + 8 / 25sin^2x - 16 = 0. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2; -3pi].

Решение:

1. Представим уравнение в виде: \[ \frac{5\cos 2x + 11\cos x + 8}{25\sin^2 x - 16} = 0 \]
2. Приравняем числитель к нулю, учитывая, что знаменатель не равен нулю:
• $$5\cos 2x + 11\cos x + 8 = 0$$.
• Заменим \( \cos 2x \) через \( 2\cos^2 x - 1 \):
• $$5(2\cos^2 x - 1) + 11\cos x + 8 = 0$$.
• $$10\cos^2 x - 5 + 11\cos x + 8 = 0$$.
• $$10\cos^2 x + 11\cos x + 3 = 0$$.
• Сделаем замену \( y = \cos x \). Получим квадратное уравнение:
• $$10y^2 + 11y + 3 = 0$$.
• Найдём дискриминант: \( D = 11^2 - 4 \cdot 10 \cdot 3 = 121 - 120 = 1 \).
• Найдём корни \( y_1, y_2 \):
• $$y_1 = \frac{-11 + 1}{2 \cdot 10} = \frac{-10}{20} = -0.5$$.
• $$y_2 = \frac{-11 - 1}{2 \cdot 10} = \frac{-12}{20} = -0.6$$.
• Вернёмся к замене:
• $$\\cos x = -0.5$$ или $$\\cos x = -0.6$$.
• Решим уравнения:
• $$\\cos x = -0.5 \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \\in \\mathbb{Z}$$.
• $$\\cos x = -0.6 \implies x = \pm \arccos(-0.6) + 2\pi k, k \\in \\mathbb{Z}$$.
3. Проверим знаменатель: \( 25\sin^2 x - 16
   e 0 \).
• $$\\sin^2 x
  e \frac{16}{25}$$
• $$\\sin x
  e \pm \frac{4}{5}$$.
4. Если $$\\cos x = -0.5$$, то $$\\sin^2 x = 1 - (-0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75 = \frac{3}{4}$$. $$\\sin x = \pm \frac{\\sqrt{3}}{2}$$. Это не равно \( \pm \frac{4}{5} \).
5. Если $$\\cos x = -0.6$$, то $$\\sin^2 x = 1 - (-0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64 = \frac{16}{25}$$. $$\\sin x = \pm \frac{4}{5}$$.
6. Следовательно, значения $$\\cos x = -0.6$$ нам не подходят.
7. Остаются корни $$\\cos x = -0.5$$, то есть $$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$$.
8. Найдём корни, принадлежащие отрезку \( [-2; -3\pi] \).
9. Учтём, что \( -3\pi \approx -9.42 \) и \( -2 \approx -0.64\pi \).
10. Рассмотрим $$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$$:
• При \( k = -1 \): $$x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = \frac{2\pi - 6\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3} \approx -4.19$$. Этот корень не входит в отрезок.
• При \( k = -2 \): $$x = \frac{2\pi}{3} - 4\pi = \frac{2\pi - 12\pi}{3} = -\frac{10\pi}{3} \approx -10.47$$. Этот корень не входит в отрезок.
11. Рассмотрим $$x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$$:
• При \( k = 0 \): $$x = -\frac{2\pi}{3} \approx -2.09$$. Этот корень входит в отрезок \( [-2; -3\pi] \).
• При \( k = -1 \): $$x = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{8\pi}{3} \approx -8.38$$. Этот корень входит в отрезок \( [-2; -3\pi] \).
• При \( k = -2 \): $$x = -\frac{2\pi}{3} - 4\pi = -\frac{14\pi}{3} \approx -14.66$$. Этот корень не входит в отрезок.

Ответ: \( -\frac{2\pi}{3}; -\frac{8\pi}{3} \).