№ 5 На сторонах АВ и ВС треугольника АВС во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники АВР и ВСQ. Точки D, E, F середины отрезков АВ, ВС и PQ соответственно. Найдите периметр треугольника DEF, если АВ = 8, BC = 9, CA = 10.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем длины сторон треугольника ABC.
   Дано: AB = 8, BC = 9, CA = 10.
2. Шаг 2: Находим середины сторон AB и BC.
   Точка D — середина AB, поэтому AD = DB = AB/2 = 8/2 = 4.
   Точка E — середина BC, поэтому BE = EC = BC/2 = 9/2 = 4.5.
3. Шаг 3: Рассматриваем среднюю линию DE.
   DE является средней линией треугольника ABC, соединяющей стороны AB и BC. По теореме о средней линии, DE параллельна AC и равна половине AC.
   \[ DE = \frac{1}{2} CA = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \]
4. Шаг 4: Анализируем равносторонние треугольники.
   Треугольник ABP равносторонний, значит, AP = BP = AB = 8. Угол PAB = Угол PBA = 60°.
   Треугольник BCQ равносторонний, значит, BQ = CQ = BC = 9. Угол QBC = Угол BCQ = 60°.
5. Шаг 5: Находим длину отрезка PQ.
   Рассмотрим треугольник PBQ. Угол PBQ = Угол ABC + Угол ABP + Угол CBQ. Однако, поскольку ABP и BCQ построены во внешнюю сторону, угол PBQ = Угол ABC.
   Используем теорему косинусов для треугольника PBQ:
   \[ PQ^2 = PB^2 + BQ^2 - 2 \cdot PB \cdot BQ \cdot \cos(\angle ABC) \]
   Для этого найдем косинус угла ABC в треугольнике ABC, используя теорему косинусов:
   \[ CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC) \]
   \[ 10^2 = 8^2 + 9^2 - 2 \cdot 8 \cdot 9 \cdot \cos(\angle ABC) \]
   \[ 100 = 64 + 81 - 144 \cdot \cos(\angle ABC) \]
   \[ 100 = 145 - 144 \cdot \cos(\angle ABC) \]
   \[ 144 \cdot \cos(\angle ABC) = 145 - 100 = 45 \]
   \[ \cos(\angle ABC) = \frac{45}{144} = \frac{5}{16} \]
   Теперь найдем PQ:
   \[ PQ^2 = 8^2 + 9^2 - 2 \cdot 8 \cdot 9 \cdot \frac{5}{16} \]
   \[ PQ^2 = 64 + 81 - 144 \cdot \frac{5}{16} \]
   \[ PQ^2 = 145 - 9 \cdot 5 \]
   \[ PQ^2 = 145 - 45 = 100 \]
   \[ PQ = \sqrt{100} = 10 \]
6. Шаг 6: Находим середину отрезка PQ.
   Точка F — середина PQ, следовательно, PF = FQ = PQ/2 = 10/2 = 5.
7. Шаг 7: Рассматриваем среднюю линию EF.
   EF является средней линией треугольника BCQ, соединяющей стороны BC и CQ. EF параллельна BQ и равна половине BQ.
   \[ EF = \frac{1}{2} BQ = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4.5 \]
8. Шаг 8: Рассматриваем среднюю линию DF.
   DF является средней линией треугольника ABP, соединяющей стороны AB и AP. DF параллельна BP и равна половине BP.
   \[ DF = \frac{1}{2} BP = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \]
9. Шаг 9: Находим периметр треугольника DEF.
   Периметр DEF = DE + EF + DF.
   Периметр DEF = 5 + 4.5 + 4 = 13.5

Ответ: 13.5