6.1. 1) Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 равны (рис. 25). 2) Отрезок BD является высотой и медианой треугольника АВС, изображённого на рисунке 26. а) Докажите, что \(\triangle ABD = \triangle BDC\). б) Докажите, что \(AB = BC\).

Решение:

1. Доказательство равенства треугольников \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) (рис. 25):

По условию задачи, \( AB = A_1B_1 = 7 \) и \( AC = A_1C_1 = 6 \). Также, \( \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 \) (обозначены одинарными дугами) и \( \angle BCA = \angle B_1C_1A_1 \) (обозначены двойными дугами).

Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \).

У нас есть:

• Две стороны равны: \( AB = A_1B_1 \) и \( AC = A_1C_1 \).
• Угол между этими сторонами в \( \triangle ABC \) равен \( \angle BAC \).
• Угол между соответствующими сторонами в \( \triangle A_1B_1C_1 \) равен \( \angle B_1A_1C_1 \).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Однако, в условии задачи даны равенства сторон \( AB = 7 \) и \( AC = 6 \), а также равенства углов \( \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 \) и \( \angle BCA = \angle B_1C_1A_1 \).

Давайте переформулируем доказательство, исходя из предоставленных равенств углов и сторон:

Мы имеем:

• \( AB = A_1B_1 = 7 \)
• \( AC = A_1C_1 = 6 \)
• \( \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 \)
• \( \angle BCA = \angle B_1C_1A_1 \)

Если два угла и сторона, лежащая против одного из этих углов, одного треугольника равны соответственно двум углам и стороне, лежащей против одного из этих углов, другого треугольника, то такие треугольники равны (третий признак равенства треугольников).

В данном случае, у нас есть равенство двух углов и двух сторон, но не указано, что эти стороны лежат против соответствующих углов.

Пересмотрим условие. Если задача подразумевает равенство углов \( \angle ABC \) и \( \angle A_1B_1C_1 \) (так как \( AB=A_1B_1 \) и \( AC=A_1C_1 \) и \( \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 \)), то можно применить первый признак.

Если же рассматривать равенство углов \( \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 \) и \( \angle BCA = \angle B_1C_1A_1 \), то неизвестно положение сторон.

Исходя из рисунка 25, где одинарные дуги у углов A и A1, а двойные у углов C и C1, и учитывая равенство сторон AB=A1B1=7 и AC=A1C1=6, мы можем сделать вывод, что треугольники равны по первому признаку (две стороны и угол между ними).

\( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \) по первому признаку равенства треугольников (сторона, угол, сторона).

2. Доказательство равенства \( \triangle ABD \) и \( \triangle BDC \) (рис. 26):

а) Докажем, что \( \triangle ABD = \triangle BDC \).

По условию, отрезок \( BD \) является высотой и медианой треугольника \( ABC \).

Поскольку \( BD \) — медиана, то она делит сторону \( AC \) пополам, то есть \( AD = DC \).

Поскольку \( BD \) — высота, то \( \angle ADB = \angle CDB = 90^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle ABD \) и \( \triangle CBD \) (обратите внимание: на рисунке указано \( \triangle BDC \), что эквивалентно \( \triangle CBD \)).

У нас есть:

• \( AD = DC \) (по определению медианы).
• \( \angle ADB = \angle CDB = 90^{\circ} \) (по определению высоты).
• Сторона \( BD \) — общая для обоих треугольников.

По первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними), \( \triangle ABD = \triangle CBD \).

б) Докажем, что \( AB = BC \).

Из равенства треугольников \( \triangle ABD = \triangle CBD \) следует, что соответствующие стороны равны.

Следовательно, \( AB = CB \) (или \( BC \)).

Вывод:

1. \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \) по первому признаку равенства треугольников.

2. а) \( \triangle ABD = \triangle CBD \) по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними).

б) \( AB = BC \) как соответствующие стороны равных треугольников \( \triangle ABD \) и \( \triangle CBD \).