6) 1/2(3ā - b) + 1/3(4c - 5ē) - 1/5(2ā - 3c)

Решение:

1. Раскрываем скобки:

   \[ \frac{1}{2}(3\vec{a} - \vec{b}) = \frac{3}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} \]

   \[ \frac{1}{3}(4\vec{c} - 5\vec{e}) = \frac{4}{3}\vec{c} - \frac{5}{3}\vec{e} \]

   \[ -\frac{1}{5}(2\vec{a} - 3\vec{c}) = -\frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{c} \]

2. Складываем полученные выражения:

   \[ (\frac{3}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}) + (\frac{4}{3}\vec{c} - \frac{5}{3}\vec{e}) + (- \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{c}) \]

3. Группируем векторы по буквам:

   \[ (\frac{3}{2}\vec{a} - \frac{2}{5}\vec{a}) - \frac{1}{2}\vec{b} + (\frac{4}{3}\vec{c} + \frac{3}{5}\vec{c}) - \frac{5}{3}\vec{e} \]

4. Приводим подобные слагаемые:

   Для вектора ā:
   \[ \frac{3}{2} - \frac{2}{5} = \frac{15}{10} - \frac{4}{10} = \frac{11}{10} \]

   Для вектора c:
   \[ \frac{4}{3} + \frac{3}{5} = \frac{20}{15} + \frac{9}{15} = \frac{29}{15} \]

   \[ \frac{11}{10}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{29}{15}\vec{c} - \frac{5}{3}\vec{e} \]

Ответ: 11/10ā - 1/2b + 29/15c - 5/3ē