6.1. Рассчитайте минимальную силу, которую необходимо приложить ко второму концу балки, чтобы поднять камень. Размерами камня по сравнению с размерами балки пренебрегите. Запишите решение и ответ.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом равновесия рычага. Рычаг находится в равновесии, когда сумма моментов сил, действующих на него, равна нулю. В данной задаче камень и приложенная сила создают моменты относительно точки опоры (бревна).

Дано:

• Масса камня \( m = 200 \text{ кг} \)
• Масса балки \( M = 30 \text{ кг} \)
• Ускорение свободного падения \( g = 10 \text{ м/с}^2 \)
• Точка опоры находится на расстоянии \( \frac{1}{4} \) длины балки от камня.

Длина балки будет \( L \). Расстояние от камня до точки опоры \( d_1 = \frac{1}{4}L \). Расстояние от второго конца балки (где прикладывается сила \( F \)) до точки опоры \( d_2 = L - \frac{1}{4}L = \frac{3}{4}L \).

Сила тяжести камня: \( F_{камень} = m · g = 200 \text{ кг} · 10 \text{ м/с}^2 = 2000 \text{ Н} \).

Вес балки действует в её центре масс, то есть на расстоянии \( \frac{L}{2} \) от края. Расстояние от точки опоры до центра масс балки: \( d_{балки} = \left| \frac{L}{2} - \frac{1}{4}L \right| = \left| \frac{2L - L}{4} \right| = \frac{1}{4}L \).

Сила тяжести балки: \( F_{балки} = M · g = 30 \text{ кг} · 10 \text{ м/с}^2 = 300 \text{ Н} \).

Для минимальной силы, чтобы поднять камень, рычаг должен находиться в равновесии. Используем условие равновесия моментов сил относительно точки опоры:

\( F_{камень} · d_1 + F_{балки} · d_{балки} = F · d_2 \)

\( 2000 \text{ Н} · \frac{1}{4}L + 300 \text{ Н} · \frac{1}{4}L = F · \frac{3}{4}L \)

Можно сократить \( L \) и \( \frac{1}{4} \) из всех членов уравнения:

\( 2000 + 300 = F · 3 \)

\( 2300 = 3F \)

\( F = \frac{2300}{3} \text{ Н} \)

\( F ≈ 766.67 \text{ Н} \)

Ответ: \( \approx 766.67 \text{ Н} \).