6.11. Упростите выражение: а) \(\left(\frac{a^2}{a+b}-\frac{a^3}{a^2+2ab+b^2}\right):\left(\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{a^2-b^2}\right)\); б) \(\frac{z-2}{4z^2+16z+16}:\left(\frac{z}{2z-4}-\frac{z^2+4}{2z^2-8}-\frac{2}{z^2+2z}\right)\).

а)

Разложим знаменатели на множители и упростим скобки:

\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\), поэтому

\(\frac{a^2}{a+b}-\frac{a^3}{(a+b)^2}=\frac{a^2(a+b)-a^3}{(a+b)^2}=\frac{a^2b}{(a+b)^2}.\)

Так как \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), то

\(\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{a^2-b^2}=\frac{a(a-b)-a^2}{(a-b)(a+b)}=-\frac{ab}{(a-b)(a+b)}.\)

Деление заменим умножением на обратную дробь:

\(\frac{a^2b}{(a+b)^2}\cdot\frac{(a-b)(a+b)}{-ab}=-\frac{a(a-b)}{a+b}=\frac{a(b-a)}{a+b}.\)

б)

Разложим знаменатели на множители:

\(4z^2+16z+16=4(z+2)^2\), \(2z-4=2(z-2)\), \(2z^2-8=2(z-2)(z+2)\), \(z^2+2z=z(z+2).\)

Упростим выражение в скобках:

\(\frac{z}{2(z-2)}-\frac{z^2+4}{2(z-2)(z+2)}=\frac{z(z+2)-(z^2+4)}{2(z-2)(z+2)}=\frac{1}{z+2}.\)

Тогда

\(\frac{1}{z+2}-\frac{2}{z(z+2)}=\frac{z-2}{z(z+2)}.\)

Выполним деление:

\(\frac{z-2}{4(z+2)^2}\cdot\frac{z(z+2)}{z-2}=\frac{z}{4(z+2)}.\)

Ответ: а) \(\frac{a(b-a)}{a+b}\); б) \(\frac{z}{4(z+2)}\).

Допустимые значения: в пункте а) \(a+b\ne0\), \(a-b\ne0\), \(a\ne0\), \(b\ne0\); в пункте б) \(z\ne-2,0,2\).