6.13. Плоскости α и β параллельны. Точки A и B лежат в плоскости α, точки C и D — в плоскости β. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O. 1) Докажите, что AO/OC = BO/OD. 2) Найдите отрезок AB, если CD = 32 см, AC : AO = 7 : 3.

1) Проведём плоскость через пересекающиеся прямые AC и BD. Её пересечения с параллельными плоскостями α и β — прямые AB и CD, поэтому AB ∥ CD.

Угол AOB равен углу COD как вертикальный. Из параллельности AB и CD следует, что углы OAB и OCD равны. Значит, треугольники AOB и COD подобны по двум углам.

Из подобия соответствующих сторон получаем \(\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{BO}{OD}\).

2) По условию \(AC:AO=7:3\), поэтому \(AO=\dfrac{3}{7}AC\), а \(OC=AC-AO=\dfrac{4}{7}AC\). Следовательно, \(\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{3}{4}\).

Из подобия треугольников \(\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{AO}{OC}\). Тогда \(AB=32\cdot\dfrac{3}{4}=24\) см.

Ответ: 1) \(\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{BO}{OD}\); 2) \(AB=24\) см.