6. (2 балла) Найдите все первообразные функции. 1) f(x) = 5x^4 - 2) f(x) = 3 cos x - 4.

Решение:

Для нахождения первообразных функций будем использовать правила интегрирования.

1) \( f(x) = 5x^4 - \frac{2}{\sqrt{x}} \)

1. Разложим выражение на составляющие: \( f(x) = 5x^4 - 2x^{-\frac{1}{2}} \).
2. Применим правило интегрирования для степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и константы \( \int k f(x) dx = k \int f(x) dx \).
3. Интегрируем каждый член:
• \( \int 5x^4 dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + C_1 = 5 \cdot \frac{x^5}{5} + C_1 = x^5 + C_1 \)
• \( \int -2x^{-\frac{1}{2}} dx = -2 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C_2 = -2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_2 = -2 \cdot 2x^{\frac{1}{2}} + C_2 = -4\sqrt{x} + C_2 \)
4. Объединяем результаты:
\( F(x) = x^5 - 4\sqrt{x} + C \), где \( C = C_1 + C_2 \).

2) \( f(x) = 3 \cos x - 4 \)

1. Применим правило интегрирования для \( \cos x \) и константы.
2. Интегрируем каждый член:
• \( \int 3 \cos x dx = 3 \int \cos x dx = 3 \sin x + C_1 \)
• \( \int -4 dx = -4x + C_2 \)
3. Объединяем результаты:
\( F(x) = 3 \sin x - 4x + C \), где \( C = C_1 + C_2 \).

Ответ: 1) \( F(x) = x^5 - 4\sqrt{x} + C \); 2) \( F(x) = 3 \sin x - 4x + C \).