6.2. Рассчитайте максимальную высоту поднятия бруска H. Запишите решение и ответ.

Дано:

• Масса горки: $$M = 1 \text{ кг}$$
• Масса бруска: $$m = 0.25 \text{ кг}$$
• Скорость горки в момент, когда брусок перестает двигаться относительно нее: $$u = 0.4 \text{ м/с}$$
• Начальная скорость бруска: $$v = 2 \text{ м/с}$$ (найдена в п. 6.1)
• Ускорение свободного падения: $$g = 10 \text{ м/с}^2$$

Найти:

• Максимальная высота поднятия бруска: $$H = ?$$

Решение:

Для нахождения максимальной высоты подъема будем использовать закон сохранения механической энергии. В начальный момент (до взаимодействия) система обладает кинетической энергией. Когда брусок достигает максимальной высоты $$H$$, он и горка движутся вместе со скоростью $$u$$. В этот момент система обладает кинетической энергией, и брусок имеет потенциальную энергию, связанную с высотой $$H$$.

1. Начальная энергия системы:

В начальный момент брусок движется со скоростью $$v$$, а горка покоится. Вся энергия системы — кинетическая:

$$E_{\text{нач}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}Mu^2$$

2. Конечная энергия системы (на максимальной высоте):

В момент достижения максимальной высоты $$H$$, брусок и горка движутся с общей скоростью $$u$$. Система обладает кинетической энергией и потенциальной энергией относительно стола:

$$E_{\text{кон}} = \frac{1}{2}(m+M)u^2 + mgH$$

3. Закон сохранения энергии:

Приравниваем начальную и конечную энергии:

$$\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}Mu^2 = \frac{1}{2}(m+M)u^2 + mgH$$

Для удобства можем умножить все на 2:

$$mv^2 + Mu^2 = (m+M)u^2 + 2mgH$$

Выразим $$2mgH$$:

$$2mgH = mv^2 + Mu^2 - (m+M)u^2$$

$$2mgH = mv^2 + Mu^2 - mu^2 - Mu^2$$

$$2mgH = mv^2 - mu^2$$

$$2mgH = m(v^2 - u^2)$$

Теперь выразим $$H$$:

$$H = \frac{m(v^2 - u^2)}{2mg}$$

$$H = \frac{v^2 - u^2}{2g}$$

Подставим значения:

$$H = \frac{(2 \text{ м/с})^2 - (0.4 \text{ м/с})^2}{2 \times 10 \text{ м/с}^2}$$

$$H = \frac{4 \text{ м}^2/\text{с}^2 - 0.16 \text{ м}^2/\text{с}^2}{20 \text{ м/с}^2}$$

$$H = \frac{3.84 \text{ м}^2/\text{с}^2}{20 \text{ м/с}^2}$$

$$H = 0.192 \text{ м}$$

Ответ: 0.192 м