6.2. Рассчитайте максимальную высоту поднятия бруска Н. Запишите решение и ответ.

Дано:

• Масса горки: $$ M = 2 $$ кг
• Масса бруска: $$ m = 0.25 $$ кг
• Скорость горки: $$ u = 0.5 $$ м/с
• Начальная скорость бруска: $$ v = 4.5 $$ м/с (из предыдущего пункта)
• Ускорение свободного падения: $$ g = 10 $$ м/с²

Решение:

В момент максимальной высоты подъема $$H$$, брусок $$m$$ перестает двигаться относительно горки $$M$$. Это означает, что в этот момент они имеют одинаковую горизонтальную скорость. Мы уже знаем эту скорость из предыдущего пункта ($$u = 0.5$$ м/с).

Используем закон сохранения энергии для системы «брусок + горка».

1. Начальное состояние (брусок на столе перед подъемом):
   • Кинетическая энергия бруска: $$ E_{k,m} = \frac{1}{2} m v^2 $$
   • Кинетическая энергия горки: $$ E_{k,M} = 0 $$ (горка покоится)
   • Потенциальная энергия: $$ E_{p} = 0 $$ (принимаем уровень стола за нулевой)
   • Полная начальная энергия: $$ E_{нач} = \frac{1}{2} m v^2 $$
2. Конечное состояние (брусок на максимальной высоте $$H$$):
   • Кинетическая энергия бруска и горки (движутся вместе): $$ E_{k, M+m} = \frac{1}{2} (M + m) u^2 $$
   • Потенциальная энергия бруска: $$ E_{p,m} = m g H $$
   • Потенциальная энергия горки: $$ E_{p,M} = 0 $$ (горка остается на уровне стола)
   • Полная конечная энергия: $$ E_{кон} = \frac{1}{2} (M + m) u^2 + m g H $$
3. Закон сохранения энергии: $$ E_{нач} = E_{кон} $$
• $$ \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} (M + m) u^2 + m g H $$
• Теперь выразим $$H$$:
• $$ m g H = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} (M + m) u^2 $$
• $$ H = \frac{ \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} (M + m) u^2 }{m g} $$
• $$ H = \frac{ m v^2 - (M + m) u^2 }{2 m g} $$
• Подставим значения:
• $$ H = \frac{ (0.25 \text{ кг}) (4.5 \text{ м/с})^2 - (2 \text{ кг} + 0.25 \text{ кг}) (0.5 \text{ м/с})^2 }{2 \times (0.25 \text{ кг}) (10 \text{ м/с}^2)} $$
• $$ H = \frac{ (0.25) (20.25) - (2.25) (0.25) }{0.5 \times 10} $$
• $$ H = \frac{ 5.0625 - 0.5625 }{5} $$
• $$ H = \frac{ 4.5 }{5} $$
• $$ H = 0.9 $$ м

Ответ: 0.9 м