6. (2) Решите уравнение: \(\frac{6-x}{3x^2-12} - \frac{2}{x-2} = 1\)

Решение:

1. Преобразуем знаменатель первой дроби: \(3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2)\).
2. Приведём уравнение к общему знаменателю \(3(x-2)(x+2)\), предварительно убедившись, что \(x \neq 2\) и \(x \neq -2\).
3. Уравнение примет вид: \[ \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} - \frac{2 \cdot 3(x+2)}{3(x-2)(x+2)} = \frac{3(x-2)(x+2)}{3(x-2)(x+2)} \]
4. Умножим обе части на \(3(x-2)(x+2)\): \[ 6-x - 6(x+2) = 3(x^2 - 4) \]
5. Раскроем скобки: \[ 6 - x - 6x - 12 = 3x^2 - 12 \]
6. Упростим: \[ -7x - 6 = 3x^2 - 12 \]
7. Перенесём все члены в правую часть: \[ 3x^2 + 7x - 6 = 0 \]
8. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 \]
9. Найдём корни: \[ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3 \]
10. Проверим, удовлетворяют ли корни условиям \(x \neq 2\) и \(x \neq -2\). Оба корня подходят.

Ответ: \(x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = -3\).