6.22. Упростите выражение: 1) cos α + cos(240° + α) + cos(240° − α); 2) (sin 22° cos 8° − cos 158° cos 98°)/(sin 23° cos 7° + cos 157° cos 97°); 3) (sin 56° sin 124° − sin 34° cos 236°)/(cos 28° cos 88° + cos 178° sin 208°); 4) (cos(π/30) cos(π/15) + sin(π/30) sin(π/15))/(sin(7π/30) cos(4π/15) + cos(7π/30) sin(4π/15)); 5) sin 20° + sin 13° sin 57° − sin 33° sin 77°; 6) (√3 sin α + 2 cos(60° + α))/(2 sin(60° + α) − √3 cos α); 7) (cos(30° − α) − cos 330° cos α)/(sin(30° − α) + sin 120° sin α); 8) cos(2π/7) ctg(π/7) + sin(2π/7); 9) cos² α + cos²(2π/3 + α) + cos²(2π/3 − α); 10) sin 3α/sin α − cos 3α/cos α.

По формуле суммы косинусов: cos(240° + α) + cos(240° − α) = 2 cos 240° cos α = −cos α. Поэтому выражение равно 0.

Используем cos 158° = −cos 22°, cos 98° = −sin 8°, cos 157° = −cos 23°, cos 97° = −sin 7°.

Числитель: sin 22° cos 8° − cos 22° sin 8° = sin 14°.

Знаменатель: sin 23° cos 7° + cos 23° sin 7° = sin 30° = 1/2.

Итак, результат: 2 sin 14°.

sin 124° = sin 56°, cos 236° = −cos 56°, sin 34° = cos 56°. Поэтому числитель равен sin²56° + cos²56° = 1.

Знаменатель: cos 28° cos 88° + cos 178° sin 208° = cos 28° sin 2° + cos 2° sin 28° = sin 30° = 1/2.

Результат: 2.

По формулам приведения суммы и разности:

cos(π/30) cos(π/15) + sin(π/30) sin(π/15) = cos(π/30 − π/15) = cos(π/30).

Знаменатель равен sin(7π/30 + 4π/15) = sin(π/2) = 1.

Результат: cos(π/30).

Так как sin 57° = cos 33° и sin 77° = cos 13°, выражение равно sin 20° + sin 13° cos 33° − sin 33° cos 13° = sin 20° + sin(13° − 33°) = 0.

Раскроем скобки:

Числитель: √3 sin α + 2 cos(60° + α) = √3 sin α + cos α − √3 sin α = cos α.

Знаменатель: 2 sin(60° + α) − √3 cos α = √3 cos α + sin α − √3 cos α = sin α.

Результат: ctg α (при допустимых значениях α, для которых исходная дробь определена).

Числитель: cos(30° − α) − cos 330° cos α = (√3/2 cos α + 1/2 sin α) − (√3/2) cos α = 1/2 sin α.

Знаменатель: sin(30° − α) + sin 120° sin α = (1/2 cos α − √3/2 sin α) + (√3/2) sin α = 1/2 cos α.

Результат: tg α (при допустимых значениях α).

Пусть x = π/7. Тогда cos 2x ctg x + sin 2x = (cos 2x cos x)/sin x + 2 sin x cos x = (cos x/sin x)(cos 2x + 2 sin²x) = ctg x.

Результат: ctg(π/7).

Применим cos²x = (1 + cos 2x)/2. Сумма равна 3/2 + (1/2)[cos 2α + cos(4π/3 + 2α) + cos(4π/3 − 2α)]. Последние два косинуса в сумме дают 2 cos(4π/3) cos 2α = −cos 2α, поэтому выражение равно 3/2.

Используем формулы sin 3α/sin α = 3 − 4 sin²α и cos 3α/cos α = 4 cos²α − 3.

Тогда выражение равно 6 − 4(sin²α + cos²α) = 2 (при sin α ≠ 0 и cos α ≠ 0).