6.23. Вычислите значение выражения: 1) 2 cos(60° − α) − √3 sin α − cos α; 2) cos²(α − 30°) + cos²(α + 30°) + sin² α; 3) cos(α + β) cos(α − β) − cos² α + sin² β; 4) sin 15° + tg 30° cos 15°; 5) (√2 cos α − 2 sin(45° − α))/(2 sin(60° + α) − √3 cos α); 6) (√3 sin 65° − sin 25°)/(√2 sin 10° − √2 cos 10°).

Раскроем косинус разности: 2 cos(60° − α) = cos α + √3 sin α. Тогда выражение равно cos α + √3 sin α − √3 sin α − cos α = 0.

Используем формулу cos²x = (1 + cos 2x)/2:

cos²(α − 30°) + cos²(α + 30°) = 1 + cos 2α cos 60° = 1 + (1/2)cos 2α.

Добавим sin²α = (1 − cos 2α)/2. Получаем 2.

По формуле произведения косинусов cos(α + β) cos(α − β) = cos²α − sin²β. Следовательно, выражение равно cos²α − sin²β − cos²α + sin²β = 0.

Преобразуем сумму: sin 15° + tg 30° cos 15° = (sin 15° cos 30° + cos 15° sin 30°)/cos 30° = sin 45°/cos 30° = √(2/3).

Числитель: √2 cos α − 2 sin(45° − α) = √2 cos α − √2(cos α − sin α) = √2 sin α.

Знаменатель: 2 sin(60° + α) − √3 cos α = sin α.

Дробь равна √2 (при sin α ≠ 0).

Числитель: √3 sin 65° − sin 25° = √3 cos 25° − sin 25° = 2 sin 35°.

Знаменатель: √2(sin 10° − cos 10°) = −2 sin 35°.

Значение выражения: −1.