6^{2x-1} + 2.25 * 6^{x-1} - 16 * 30^{x-1} = 0

Решение:

1. Преобразуем уравнение:

   Исходное уравнение: 6^2x-1 + 2.25 * 6^x-1 - 16 * 30^x-1 = 0

   Перепишем степени: 6^2x / 6 + 2.25 * 6^x / 6 - 16 * 30^x / 30 = 0

   Умножим всё на 180 (общий знаменатель для 6 и 30):

   180 * (6^2x / 6) + 180 * (2.25 * 6^x / 6) - 180 * (16 * 30^x / 30) = 0

   30 * 6^2x + 30 * 2.25 * 6^x - 6 * 16 * 30^x = 0

   30 * (6^x)² + 67.5 * 6^x - 96 * 30^x = 0

2. Разделим на 30^x:

   30 * (6^x / 30^x)² + 67.5 * (6^x / 30^x) - 96 = 0

   30 * (6/30)^x)² + 67.5 * (6/30)^x - 96 = 0

   30 * (1/5)^2x + 67.5 * (1/5)^x - 96 = 0

   30 * (1/25)^x + 67.5 * (1/5)^x - 96 = 0

3. Сделаем замену переменной:

   Пусть y = (1/5)^x. Тогда y² = ((1/5)^x)² = (1/25)^x.

   Уравнение примет вид: 30y² + 67.5y - 96 = 0

4. Решим квадратное уравнение:

   Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

   60y² + 135y - 192 = 0

   Найдем дискриминант D = b² - 4ac:

   D = 135² - 4 * 60 * (-192) = 18225 + 46080 = 64305

   √D = √64305 ≈ 253.58

   Найдем корни y_1,2 = (-b ± √D) / 2a:

   y₁ = (-135 + 253.58) / (2 * 60) = 118.58 / 120 ≈ 0.988

   y₂ = (-135 - 253.58) / (2 * 60) = -388.58 / 120 ≈ -3.238

5. Вернемся к исходной переменной:

   Поскольку y = (1/5)^x, значение y должно быть строго положительным. Поэтому y₂ ≈ -3.238 не подходит.

   Рассматриваем y₁ ≈ 0.988.

   (1/5)^x ≈ 0.988

   log_1/5(0.988) ≈ x

   x ≈ log_0.2(0.988)

   x ≈ log(0.988) / log(0.2)

   x ≈ -0.0052 / -0.6989 ≈ 0.0074

Ответ: x ≈ 0.0074