6)3^{3x^2+9x} \(\ge\) 1

Решение:

Это показательное неравенство. Нам нужно привести обе части к одному основанию.

1. Представим число 1 как степень с основанием 3: \( 1 = 3^0 \).
2. Неравенство примет вид: \( 3^{3x^2+9x} \ge 3^0 \).
3. Основание степени \( 3 \) больше 1. При сравнении показателей степеней с основанием больше 1, знак неравенства сохраняется.
4. Приравниваем показатели: \( 3x^2+9x \ge 0 \).
5. Это квадратное неравенство. Разделим обе части на 3: \( x^2+3x \ge 0 \).
6. Вынесем \( x \) за скобки: \( x(x+3) \ge 0 \).
7. Найдем корни уравнения \( x(x+3) = 0 \): \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -3 \).
8. Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty, -3] \), \( [-3, 0] \) и \( [0, \infty) \).
9. Проверим знак выражения \( x(x+3) \) в каждом интервале:
   • Если \( x < -3 \) (например, \( x=-4 \)): \( -4(-4+3) = -4(-1) = 4 > 0 \).
   • Если \( -3 < x < 0 \) (например, \( x=-1 \)): \( -1(-1+3) = -1(2) = -2 < 0 \).
   • Если \( x > 0 \) (например, \( x=1 \)): \( 1(1+3) = 1(4) = 4 > 0 \).
10. Нам нужно, чтобы \( x(x+3) \ge 0 \), то есть значение выражения должно быть положительным или равным нулю.
11. Это выполняется на интервалах \( (-\infty, -3] \) и \( [0, \infty) \).

Ответ: x \(≤\) -3 или x \(≥\) 0.