6. (3 балла) На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС взята точка Е, а внутри треугольника — точка D. EM ⊥ AC (M ∈ AC), AM = CM, ∠B = 45°, ∠CDA = 90°, ∠DCA = 60°. Докажите, что EM = DC.

Решение:

Дан прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \), где \( \angle B = 45^{\circ} \).

Так как \( \angle B = 45^{\circ} \) и \( \angle C = 90^{\circ} \), то \( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Следовательно, \( \triangle ABC \) — равнобедренный с \( AC = BC \).

Точка M лежит на AC, и \( EM \perp AC \). Также дано, что \( AM = CM \). Это означает, что M — середина стороны AC.

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) медиана EM, проведённая к гипотенузе AC (поскольку \( \angle B=90^{\circ} \) является прямым, а AC — гипотенузой), равна половине гипотенузы, то есть \( EM = AM = CM = \frac{1}{2}AC \).

Рассмотрим \( \triangle CDA \). Дано, что \( \angle CDA = 90^{\circ} \) и \( \angle DCA = 60^{\circ} \).

В прямоугольном \( \triangle CDA \) имеем:

• \( \sin(\angle DCA) = \frac{DA}{AC} \)
• \( \cos(\angle DCA) = \frac{CD}{AC} \)

Из второго равенства выразим DC:

\( DC = AC \cdot \cos(\angle DCA) = AC \cdot \cos(60^{\circ}) = AC \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}AC \).

Сравнивая полученные выражения для EM и DC:

\( EM = \frac{1}{2}AC \)

\( DC = \frac{1}{2}AC \)

Следовательно, \( EM = DC \).

Доказано.