Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
6.4. Найти предел lim x→∞ ( 3x-4 3x+2 )x+1 3
Ответ:
Краткое пояснение:
Данное выражение представляет собой неопределенность вида \( \infty^0 \), которую можно раскрыть, используя логарифмирование или преобразовав выражение к виду \( e^{\lim_{x \to \infty} (g(x) (f(x) - 1))} \).
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Преобразуем выражение к виду \( e^{...} \). Пусть \( y = \left(\frac{3x-4}{3x+2}\right)^{\frac{x+1}{3}} \). Возьмем натуральный логарифм от обеих частей: \( \ln y = \frac{x+1}{3} \ln\left(\frac{3x-4}{3x+2}\right) \).
- Шаг 2: Раскроем неопределенность \( \infty \cdot 0 \) в показателе. Сначала найдем предел \( \ln\left(\frac{3x-4}{3x+2}\right) \) при \( x \to \infty \). \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x-4}{3x+2} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{4}{x}}{3 + \frac{2}{x}} = \frac{3-0}{3+0} = 1 \).
- Шаг 3: Теперь найдем предел \( \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{3} \ln\left(\frac{3x-4}{3x+2}\right) \). Используем эквивалентность \( \ln(1+u) \approx u \) при \( u \to 0 \). Имеем: \( \frac{3x-4}{3x+2} = \frac{3x+2-6}{3x+2} = 1 - \frac{6}{3x+2} \).
- Шаг 4: Тогда \( \ln\left(\frac{3x-4}{3x+2}\right) = \ln\left(1 - \frac{6}{3x+2}\right) \). При \( x \to \infty \), \( -\frac{6}{3x+2} \to 0 \). Используем эквивалентность: \( \ln\left(1 - \frac{6}{3x+2}\right) \approx -\frac{6}{3x+2} \).
- Шаг 5: Подставляем в предел: \( \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{3} \left(-\frac{6}{3x+2}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{(x+1)(-6)}{3(3x+2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{-6x-6}{9x+6} = \lim_{x \to \infty} \frac{-6 - \frac{6}{x}}{9 + \frac{6}{x}} = \frac{-6}{9} = -\frac{2}{3} \).
- Шаг 6: Возвращаемся к первоначальному выражению: \( y = e^{\lim \ln y} = e^{-\frac{2}{3}} \).
Ответ: $$e^{-\frac{2}{3}}$$
