6.40. Упростите выражение: а) \(\left(\frac{x+4}{3x+3}-(x+1)^{-1}\right)\cdot\left(\frac{x+1}{3}\right)^{-1}+\frac{2}{x^2-1}\); б) \(\left(\frac{x+10}{5x+25}-(x+5)^{-1}\right)\cdot\left(\frac{x-5}{5}\right)^{-1}-\frac{10}{x^2-25}\).

а)

Область допустимых значений: \(x\ne -1\) и \(x\ne 1\).

Сначала упростим выражение в первых скобках:

\(\frac{x+4}{3x+3}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+4}{3(x+1)}-\frac{3}{3(x+1)}=\frac{x+1}{3(x+1)}=\frac13.\)

Также \(\left(\frac{x+1}{3}\right)^{-1}=\frac{3}{x+1}\), поэтому произведение равно \(\frac{1}{x+1}\).

Складываем дроби:

\(\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x^2-1}=\frac{1}{x+1}+\frac{2}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-1+2}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x-1}.\)

а) Ответ: \(\frac{1}{x-1}\), где \(x\ne -1,1\).

б)

Область допустимых значений: \(x\ne -5\) и \(x\ne 5\).

Упростим первые скобки:

\(\frac{x+10}{5x+25}-\frac{1}{x+5}=\frac{x+10}{5(x+5)}-\frac{5}{5(x+5)}=\frac{x+5}{5(x+5)}=\frac15.\)

Так как \(\left(\frac{x-5}{5}\right)^{-1}=\frac{5}{x-5}\), произведение равно \(\frac{1}{x-5}\).

Вычитаем дроби:

\(\frac{1}{x-5}-\frac{10}{x^2-25}=\frac{1}{x-5}-\frac{10}{(x-5)(x+5)}=\frac{x+5-10}{(x-5)(x+5)}=\frac{x-5}{(x-5)(x+5)}=\frac{1}{x+5}.\)

б) Ответ: \(\frac{1}{x+5}\), где \(x\ne -5,5\).