6.41. Упростите выражение: а) \(\frac{2-a-5(a+2)^{-1}}{5(4-a^2)^{-1}-1}\); б) \(\frac{(x^2-1)^{-1}-3}{3(x-1)-(x+1)^{-1}}\).

а)

Область допустимых значений: \(a\ne\pm2\).

Числитель: \(2-a-\frac5{a+2}=\frac{(2-a)(a+2)-5}{a+2}=\frac{4-a^2-5}{a+2}=-\frac{a^2+1}{a+2}\).

Знаменатель: \(\frac5{4-a^2}-1=\frac{5-(4-a^2)}{4-a^2}=\frac{a^2+1}{4-a^2}\).

Делим числитель на знаменатель: \(-\frac{a^2+1}{a+2}\cdot\frac{4-a^2}{a^2+1}=\frac{a^2-4}{a+2}=a-2\).

б)

Область допустимых значений исходного выражения: \(x\ne\pm1\) и \(3x^2-4\ne0\), то есть \(x\ne\pm\frac2{\sqrt3}\).

Числитель: \(\frac1{x^2-1}-3=\frac{1-3(x^2-1)}{x^2-1}=\frac{4-3x^2}{x^2-1}\).

Знаменатель: \(3(x-1)-\frac1{x+1}=\frac{3(x-1)(x+1)-1}{x+1}=\frac{3x^2-4}{x+1}\).

Следовательно, \(\frac{4-3x^2}{x^2-1}\cdot\frac{x+1}{3x^2-4}=-\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}=-\frac1{x-1}\).

Ответ: а) \(a-2\), \(a\ne\pm2\); б) \(-\frac1{x-1}\), \(x\ne\pm1,\;x\ne\pm\frac2{\sqrt3}\).