6.5. а) $\operatorname{arctg}1-\operatorname{arctg}\sqrt3-\arccos\left(-\frac12\right)$; б) $\arcsin(-1)-\frac32\arccos\frac12+3\operatorname{arcctg}\left(-\frac1{\sqrt3}\right)$; в) $-4\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+8\arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)-15\operatorname{arctg}\frac{\sqrt3}{3}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6.5. а) $\operatorname{arctg}1-\operatorname{arctg}\sqrt3-\arccos\left(-\frac12\right)$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

Используем главные значения обратных тригонометрических функций.

а) $\operatorname{arctg}1=\frac{\pi}{4}$, $\operatorname{arctg}\sqrt3=\frac{\pi}{3}$, $\arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3}$. Поэтому $\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}-\frac{2\pi}{3}=-\frac{3\pi}{4}$.
б) $\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}$, $\arccos\frac12=\frac{\pi}{3}$, $\operatorname{arcctg}\left(-\frac1{\sqrt3}\right)=\frac{5\pi}{6}$. Поэтому $-\frac{\pi}{2}-\frac32\cdot\frac{\pi}{3}+3\cdot\frac{5\pi}{6}=\frac{3\pi}{2}$.
в) $\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\frac{\pi}{4}$, $\arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{3\pi}{4}$, $\operatorname{arctg}\frac{\sqrt3}{3}=\frac{\pi}{6}$. Тогда $-4\left(-\frac{\pi}{4}\right)+8\cdot\frac{3\pi}{4}-15\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{9\pi}{2}$.

Ответ: а) $-\frac{3\pi}{4}$; б) $\frac{3\pi}{2}$; в) $\frac{9\pi}{2}$.