6.5. Найти предел lim x→0 ln(1+5x) e^{2x} - 1

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Данный предел имеет неопределенность вида $ \frac{0}{0} $, поэтому мы можем использовать эквивалентные бесконечно малые функции или правило Лопиталя.

Шаг 1: Заметим, что при $ x \to 0 $, $ \ln(1+5x) \to \ln(1) = 0 $ и $ e^{2x}-1 \to e^0 - 1 = 1-1=0 $. Это неопределенность типа $ \frac{0}{0} $.
Шаг 2: Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми функциями: при $ u \to 0 $, $ \ln(1+u) \sim u $ и $ e^u-1 \sim u $.
Шаг 3: В нашем случае, $ u=5x $ для логарифма, поэтому $ \ln(1+5x) \sim 5x $ при $ x \to 0 $.
Шаг 4: Для знаменателя, $ u=2x $, поэтому $ e^{2x}-1 \sim 2x $ при $ x \to 0 $.
Шаг 5: Подставляем эквивалентные выражения в предел: $ \lim_{x\to0} \frac{\ln(1+5x)}{e^{2x}-1} = \lim_{x\to0} \frac{5x}{2x} $.
Шаг 6: Сокращаем $ x $ и вычисляем предел: $ \lim_{x\to0} \frac{5}{2} = \frac{5}{2} $.

Ответ: $$\frac{5}{2}$$