6.5. Вычислите: а) \(\operatorname{arcctg}1-\operatorname{arctg}\sqrt3-\arccos\left(-\frac12\right)\); б) \(\arcsin\left(-\frac12\right)+\operatorname{arctg}\left(-\frac1{\sqrt3}\right)\); \(-\operatorname{arcctg}\sqrt3\); \(\arcsin(-1)-\frac32\arccos\frac12+3\operatorname{arcctg}\left(-\frac1{\sqrt3}\right)\); в) \(-4\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+8\arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)-15\operatorname{arctg}\frac{\sqrt3}{3}\).

Используем главные значения обратных тригонометрических функций: \(\operatorname{arcctg}x\in(0,\pi)\), \(\operatorname{arctg}x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\), \(\arcsin x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), \(\arccos x\in[0,\pi]\).

1. а) \(\operatorname{arcctg}1=\frac{\pi}{4}\), \(\operatorname{arctg}\sqrt3=\frac{\pi}{3}\), \(\arccos(-\frac12)=\frac{2\pi}{3}\). Поэтому \(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}-\frac{2\pi}{3}=-\frac{3\pi}{4}\).
2. б) \(\arcsin(-\frac12)=-\frac{\pi}{6}\), \(\operatorname{arctg}(-\frac1{\sqrt3})=-\frac{\pi}{6}\). Сумма равна \(-\frac{\pi}{3}\).
3. Для отдельного выражения \(-\operatorname{arcctg}\sqrt3=-\frac{\pi}{6}\).
4. \(\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}\), \(\arccos\frac12=\frac{\pi}{3}\), \(\operatorname{arcctg}(-\frac1{\sqrt3})=\frac{2\pi}{3}\). Тогда \(-\frac{\pi}{2}-\frac32\cdot\frac{\pi}{3}+3\cdot\frac{2\pi}{3}=\pi\).
5. в) \(\arcsin(-\frac{\sqrt2}{2})=-\frac{\pi}{4}\), \(\arccos(-\frac{\sqrt2}{2})=\frac{3\pi}{4}\), \(\operatorname{arctg}\frac{\sqrt3}{3}=\frac{\pi}{6}\). Тогда \(-4(-\frac{\pi}{4})+8\cdot\frac{3\pi}{4}-15\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{9\pi}{2}\).

Ответ: а) \(-\frac{3\pi}{4}\); б) \(-\frac{\pi}{3}\); отдельное выражение \(-\frac{\pi}{6}\); выражение с \(\arcsin(-1)\) равно \(\pi\); в) \(\frac{9\pi}{2}\).