6. а) Решить уравнение: \((a+1)(a-7)x=(a+1)(b-5)\). б) При каких целых \(a\) и \(b\) это уравнение будет иметь целые корни?

а) Рассмотрим случаи.

1. Если \(a=-1\), обе части уравнения равны нулю, поэтому подходит любое \(x\).
2. Если \(a\ne-1\), можно разделить обе части на \(a+1\): \((a-7)x=b-5\).
   Если \(a=7\), получаем \(0\cdot x=b-5\). При \(b=5\) подходит любое \(x\), а при \(b\ne5\) решений нет.
   Если \(a\ne7\), то \(x=\dfrac{b-5}{a-7}\).

б) Для целых \(a,b\) уравнение имеет целые корни в следующих случаях:

• при \(a=-1\) — для любого целого \(b\), поскольку уравнение превращается в тождество;
• при \(a=7,\ b=5\) — также подходит любое целое \(x\);
• при \(a\ne-1,7\) — если \(b-5\) делится на \(a-7\), то есть \(\dfrac{b-5}{a-7}\) — целое число.