6. а) Решите уравнение −0,5 cos 2x + 8 sin x + 7,5 = 0. б) Укажите его корни, которые принадлежат промежутку [5π/2; 4π].

Используем тождество \(\cos 2x=1-2\sin^2 x\):

\(-0.5(1-2\sin^2 x)+8\sin x+7.5=0\), поэтому \(\sin^2 x+8\sin x+7=0\).

Разложим квадратный трёхчлен: \((\sin x+1)(\sin x+7)=0\). Значение \(\sin x=-7\) невозможно, поэтому \(\sin x=-1\), откуда \(x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

На промежутке \([\frac{5\pi}{2};4\pi]\) находится корень при \(k=1\).

Ответ: а) \(x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\); б) \(\frac{7\pi}{2}\).