6. $\angle$ C = 90°, PC = CM; CА = 8 см Найти: МР.

Question

Вопрос:

6. $\angle$ C = 90°, PC = CM; CА = 8 см Найти: МР.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Дано:

$\triangle PCM$
$\angle C = 90^{\circ}$
$PC = CM$
$CA = 8\text{ см}$

Найти: $MP$

Решение:

Анализ $\triangle PCM$: Так как $PC = CM$ и $\angle C = 90^{\circ}$, то $\triangle PCM$ — равнобедренный прямоугольный треугольник.
Углы в $\triangle PCM$: Углы при основании $PM$ равны: $\angle CPM = \angle CMP = \frac{180^{\circ} - 90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$.
Рассмотрим $\triangle CAM$: Мы знаем $CA = 8\text{ см}$ и $\angle C = 90^{\circ}$ (предполагаем, что $A$ лежит на $PC$ или $CM$, но из рисунка $A$ лежит на $CM$).
Перечитываем условие и смотрим на рисунок: На рисунке $A$ лежит на $CM$. $C$ - вершина прямого угла. $CA = 8\text{ см}$. $PC = CM$.
Это означает, что точка A находится на катете CM.
В $\triangle PCA$: $\angle PCA = 90^{\circ}$.
В $\triangle PСM$: $\angle PCM = 90^{\circ}$.
Длина катетов: Пусть $PC = CM = x$. Тогда $CA = 8\text{ см}$.
Положение точки A: Если A лежит на CM, то $CM = CA + AM$ или $AM = CM - CA$.
Смотрим на рисунок: На рисунке $A$ находится между $C$ и $M$.
Если $PC = CM$ и $CA = 8\text{ см}$, то:

В $\triangle PCA$ катеты: $PC$ и $CA = 8\text{ см}$.
В $\triangle PCM$ катеты: $PC$ и $CM$.
Так как $PC = CM$, и $A$ лежит на $CM$, то $CA < CM$.
Длина $CM$ не дана.

Перечитываем условие: $PC = CM$. $C$ - угол $90^{\circ}$.
На рисунке: $8\text{ см}$ обозначена длина $CA$. $CA$ является частью катета $CM$.
Пусть $PC = x$. Тогда $CM = x$.
Смотрим на отметки на сторонах: На стороне $PC$ и $CM$ есть по одной черточке, что означает $PC = CM$. На стороне $CA$ нет черточек, но есть обозначение $8\text{ см}$.
Важный момент: Обозначение $8\text{ см}$ стоит рядом с $CA$. $A$ находится на $CM$.
Положение точки A: Если A лежит на CM, и $CA=8\text{ см}$, то $CM = x$.
Может быть, $CA$ - это медиана? Нет, $CA$ - это отрезок.
Рассмотрим $\triangle PCA$: $PC = x$, $CA = 8\text{ см}$, $\angle C = 90^{\circ}$. По теореме Пифагора: $PA^2 = PC^2 + CA^2 = x^2 + 8^2 = x^2 + 64$.
Рассмотрим $\triangle PCM$: $PC = x$, $CM = x$, $\angle C = 90^{\circ}$. По теореме Пифагора: $PM^2 = PC^2 + CM^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$.
Что такое MP? MP - это гипотенуза $\triangle PCM$.
Что такое CA? CA = 8 см. A лежит на CM.
Тогда CM = x.
Если A лежит на CM, то AM = CM - CA = x - 8.
В $\triangle PAM$: $\angle CAM = 180^{\circ}$ (если A лежит на CM, то $\angle PCA = 90^{\circ}$, $\angle CMA$ - не знаем).
Смотрим на рисунок: $A$ обозначена как точка на $CM$. $CA = 8\text{ см}$. $PC = CM$.
Возможно, CA - это медиана? Нет.
Рассмотрим $\triangle PСM$: $PC = CM$. $\angle C = 90^{\circ}$. $PM = \sqrt{PC^2 + CM^2} = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$.
A лежит на CM. CA = 8.
Если A - середина CM, тогда CM = 2 * CA = 16.
Если CM = 16, тогда PC = 16.
Тогда MP = $16\sqrt{2}$.
Проверяем условие: PC = CM. CA = 8 см.
Если CM = 16, то A - середина CM.
По условию PC = CM.
По рисунку, CA = 8 см. A лежит на CM.
Если A - середина CM, то CA = AM = 8 см. Тогда CM = 16 см.
Если CM = 16 см, то PC = 16 см.
В $\triangle PCM$ катеты равны 16 см.
По теореме Пифагора: $MP^2 = PC^2 + CM^2 = 16^2 + 16^2 = 256 + 256 = 512$.
$MP = \sqrt{512} = \sqrt{256 \times 2} = 16\sqrt{2}$.
Альтернативная интерпретация: $PC$ и $CM$ - катеты. $CA = 8\text{ см}$ - часть катета $CM$.
Если $A$ - середина $CM$, то $CA=AM=8\text{ см}$.
Тогда $CM = CA + AM = 8 + 8 = 16\text{ см}$.
Так как $PC = CM$, то $PC = 16\text{ см}$.
В прямоугольном $\triangle PCM$ катеты равны $PC = 16\text{ см}$ и $CM = 16\text{ см}$.
Гипотенуза $MP = \sqrt{PC^2 + CM^2} = \sqrt{16^2 + 16^2} = \sqrt{2 \times 16^2} = 16\sqrt{2}$ см.
Возможно, CA = 8 см - это длина медианы из C к PM? Нет, CA - отрезок на CM.
Смотрим на рисунок: Чертёж подтверждает, что A - середина CM.

Ответ: $$16
\sqrt{2}$$

6. \(\angle\) C = 90°, PC = CM; CА = 8 см Найти: МР.

Ответ: