№ 6. Антон отметил на прямой несколько точек. Оказалось, что все расстояния между точками принимают значения, кратные 3. Кроме того, не менее пяти расстояний между отмеченными точками делится на 7 без остатка. Какое наименьшее количество точек мог отметить Антон? Какое наименьшее расстояние могло быть между самыми далёкими точками (точек не обязательно наименьшее количество)?

1. Наименьшее количество точек.

Если точек не больше четырёх, то расстояний между парами точек не больше \(\binom{4}{2}=6\). Но не каждое из них может делиться на 7: поскольку все расстояния кратны 3, точки можно представить координатами, кратными 3. Среди четырёх различных точек не более трёх пар могут иметь расстояние, кратное 7: для этого три точки должны совпадать по остатку координаты при делении на 21.

Пяти точек достаточно: например, расположить их в координатах 0, 21, 42, 63 и 84. Все расстояния кратны 3 и делятся на 7.

Ответ: 5 точек.

2. Наименьшее расстояние между самыми далёкими точками.

Все точки можно записать координатами \(3k\), где \(k\) — целое число. Расстояние между точками \(3a\) и \(3b\) делится на 7 тогда и только тогда, когда \(|a-b|\) делится на 7.

Чтобы получить пять таких пар при наименьшем размахе, достаточно взять координаты, соответствующие \(k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\). Пары с разностью индексов 7: (0, 7), (1, 8), (2, 9), (3, 10), (4, 11). Их расстояния равны \(21\).

Меньший размах невозможен: если размах индексов не больше 10, то пар индексов с разностью, кратной 7, не больше четырёх. Поэтому минимальный размах индексов равен 11, а расстояние между крайними точками — \(3\cdot11=33\).

Ответ: 33.