6. АВСД — ромб. ∠А = 60°. ВМ ⟂ АД, ВN ⟂ СД. Найти: МД + ДN.

Пусть сторона ромба равна a. В ромбе все стороны равны, а углы при соседних вершинах дополнительны.

Так как ∠А = 60°, то ∠D = 120°. В прямоугольном треугольнике АВМ гипотенуза АВ = a, а ∠А = 60°, поэтому МД = АМ? Сначала находим АМ = АВ · cos 60° = a/2. Следовательно, МД = АД − АМ = a − a/2 = a/2.

В треугольнике BDN угол D равен 60° (между DB не используется; угол между AD и DC равен 60°), а DN — проекция DB на DC. Эквивалентно, из геометрии ромба проекция отрезка от D к B на сторону DC равна половине стороны, поэтому DN = a/2.

Тогда МД + ДN = a/2 + a/2 = a.

Ответ: МД + ДN = АД (равно стороне ромба).