Контрольные задания > 6) ∠BAD = 23°, ∠AKC = 81°. Найдите ∠ABC.
Вопрос:

6) ∠BAD = 23°, ∠AKC = 81°. Найдите ∠ABC.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение:

Краткое пояснение: Для решения этой задачи будем использовать свойства углов, связанных с дугами в окружности. Угол, вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Угол, образованный пересекающимися хордами, равен полусумме дуг, высекаемых его сторонами.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Определим меру дуги BC. Угол ∠BAC является вписанным и опирается на дугу BC. Следовательно, мера дуги BC равна 2 * ∠BAC. Однако, ∠BAC нам не дан напрямую.
  2. Шаг 2: Найдем меру дуги AB. Угол ∠ADB является вписанным и опирается на дугу AB. Следовательно, мера дуги AB равна 2 * ∠ADB. Этот угол тоже неизвестен.
  3. Шаг 3: Определим меру дуги CD. Угол ∠CAD является вписанным и опирается на дугу CD. Следовательно, мера дуги CD равна 2 * ∠CAD.
  4. Шаг 4: Найдем меру дуги AD. Угол ∠ABD является вписанным и опирается на дугу AD. Следовательно, мера дуги AD равна 2 * ∠ABD.
  5. Шаг 5: Используем данное значение ∠BAD = 23°. Этот угол можно разбить на ∠BAC + ∠CAD.
  6. Шаг 6: Используем данное значение ∠AKC = 81°. Угол ∠AKC образован пересекающимися хордами AC и BD. По теореме об угле между пересекающимися хордами, ∠AKC = (дуга AC + дуга BD) / 2.
  7. Шаг 7: Дуга AC = дуга AB + дуга BC. Дуга BD = дуга BC + дуга CD.
  8. Шаг 8: Из ∠AKC = 81°, имеем: $$81° = (дуга AC + дуга BD) / 2$$. Отсюда, $$дуга AC + дуга BD = 162°$$.
  9. Шаг 9: Подставим выражения для дуг: $$(дуга AB + дуга BC) + (дуга BC + дуга CD) = 162°$$. Это можно записать как $$дуга AB + 2 imes дуга BC + дуга CD = 162°$$.
  10. Шаг 10: Из ∠BAD = 23°, мы знаем, что это сумма вписанных углов ∠BAC (опирается на дугу BC) и ∠CAD (опирается на дугу CD). Значит, $$2 imes ∠BAC + 2 imes ∠CAD = 2 imes 23° = 46°$$. Это означает, что $$дуга BC + дуга CD = 46°$$.
  11. Шаг 11: Теперь у нас есть два уравнения:
    1) $$дуга AB + 2 imes дуга BC + дуга CD = 162°$$
    2) $$дуга BC + дуга CD = 46°$$
  12. Шаг 12: Выразим $$дуга CD$$ из второго уравнения: $$дуга CD = 46° - дуга BC$$.
  13. Шаг 13: Подставим это в первое уравнение: $$дуга AB + 2 imes дуга BC + (46° - дуга BC) = 162°$$.
  14. Шаг 14: Упростим: $$дуга AB + дуга BC + 46° = 162°$$.
  15. Шаг 15: Отсюда, $$дуга AB + дуга BC = 162° - 46° = 116°$$.
  16. Шаг 16: Обратите внимание, что $$дуга AB + дуга BC$$ — это и есть дуга AC. Итак, $$дуга AC = 116°$$.
  17. Шаг 17: Теперь вернемся к уравнению из Шага 8: $$дуга AC + дуга BD = 162°$$. Подставим значение дуги AC: $$116° + дуга BD = 162°$$.
  18. Шаг 18: Найдем дугу BD: $$дуга BD = 162° - 116° = 46°$$.
  19. Шаг 19: Нам нужно найти ∠ABC. Этот угол является вписанным и опирается на дугу AC.
  20. Шаг 20: Следовательно, $$∠ABC = дуга AC / 2$$.
  21. Шаг 21: Подставляем значение дуги AC: $$∠ABC = 116° / 2 = 58°$$.

Ответ: 58°

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю