6. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см. Найдите площадь треугольника.

Краткое пояснение:

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC, \( C = 90^{\circ} \)
• CD - биссектриса прямого угла
• AD = 15 см, DB = 20 см

Найти:

• Площадь треугольника S - ?

Решение:

1. Свойство биссектрисы: По теореме о биссектрисе угла треугольника, биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки, пропорциональные прилежащим катетам. То есть, \( rac{AC}{BC} = rac{AD}{DB} \).
2. Находим соотношение катетов:
   \( rac{AC}{BC} = rac{15}{20} = rac{3}{4} \).
3. Пусть \( AC = 3x \) и \( BC = 4x \).
4. Гипотенуза AB:
   \( AB = AD + DB = 15 + 20 = 35 \) см.
5. Применяем теорему Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)
   \( (3x)^2 + (4x)^2 = 35^2 \)
   \( 9x^2 + 16x^2 = 1225 \)
   \( 25x^2 = 1225 \)
   \( x^2 = rac{1225}{25} = 49 \)
   \( x = 7 \)
6. Находим катеты:
   \( AC = 3x = 3 ⋅ 7 = 21 \) см.
   \( BC = 4x = 4 ⋅ 7 = 28 \) см.
7. Находим площадь треугольника (S): Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
   \( S = rac{1}{2} ⋅ AC ⋅ BC \)
   \( S = rac{1}{2} ⋅ 21 ⋅ 28 \)
   \( S = 21 ⋅ 14 = 294 \) см².

Ответ: 294 см²