6. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AB = 11.

Обозначим единичные векторы, направленные вдоль сторон AB и AD, через \(\vec e\) и \(\vec u\). Пусть \(AD = x\).

1. Так как точка \(M\) лежит на биссектрисе угла \(A\), её координаты в направлениях \(\vec e\) и \(\vec u\) равны. Поскольку \(M\) лежит на стороне \(BC\), расстояние от \(M\) до прямой \(CD\) в направлении \(\vec u\) равно \(AB=11\). Значит, точка \(M\) имеет вид \(M=11(\vec e+\vec u)\).

2. Точка \(M\) лежит также на биссектрисе угла \(D\). Направление этой биссектрисы задаётся вектором \(\vec e-\vec u\), поэтому \(M\) можно представить в виде \(M=x\vec u+t(\vec e-\vec u)\).

3. Сравнивая коэффициенты при \(\vec e\) и \(\vec u\), получаем: \(t=11\) и \(x-t=11\). Следовательно, \(x-11=11\), откуда \(AD=x=22\).

4. Периметр параллелограмма:

   \[P=2(AB+AD)=2(11+22)=66.\]

Ответ: 66.