6) ctg x = 2,5;

Решение:

Данное уравнение содержит котангенс. Вспомним основное тригонометрическое тождество:

\( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)

Также вспомним определение котангенса:

\( \text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x} \)

Если \( \text{ctg } x = 2,5 \), то \( \frac{\cos x}{\sin x} = 2,5 \).

Возведём обе части в квадрат:

\( \text{ctg}^2 x = 2,5^2 = 6,25 \)

Из тождества \( 1 + \text{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} \) получим:

\( \sin^2 x = \frac{1}{1 + \text{ctg}^2 x} = \frac{1}{1 + 6,25} = \frac{1}{7,25} = \frac{100}{725} = \frac{4}{29} \)

Тогда \( \sin x = \pm \sqrt{\frac{4}{29}} = \pm \frac{2}{\sqrt{29}} = \pm \frac{2\sqrt{29}}{29} \)

Из тождества \( \text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x} \) выразим \( \cos x \):

\( \cos x = \text{ctg } x \cdot \sin x = 2,5 \cdot \left( \pm \frac{2\sqrt{29}}{29} \right) = \frac{5}{2} \cdot \left( \pm \frac{2\sqrt{29}}{29} \right) = \pm \frac{5\sqrt{29}}{29} \)

Таким образом, решения уравнения:

\( x = \text{arcctg}(2,5) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Или, используя арктангенс:

\( x = \text{arctg} \left( \frac{1}{2,5} \right) + \pi k = \text{arctg}(0,4) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Примечание: Если требуется найти конкретные значения \( \sin x \) и \( \cos x \), то они приведены выше. Без указания интервала для \( x \) обычно записывают общее решение.

Ответ: \( x = \text{arcctg}(2,5) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).