6. Дан параллелограмм ABCD, O — точка пересечения диагоналей. Известно, что точки C, D и O лежат в плоскости β. Докажите, что точки A и B также лежат в плоскости β. Вычислите площадь параллелограмма, если AD = 3 см, CD = 4 см, ∠ADC = 60°.

а) Точки C и D принадлежат плоскости β, значит, прямая CD лежит в этой плоскости. Так как O также лежит в β, прямая CO лежит в β. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой O пополам, поэтому A, O, C лежат на одной прямой, а B, O, D — на одной прямой. Следовательно, A и B принадлежат β.

б) Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними:

\(S = AD\cdot DC\cdot\sin\angle ADC = 3\cdot4\cdot\sin60^\circ = 12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{ см}^2\).

Ответ: а) точки A и B лежат в плоскости β; б) \(6\sqrt{3}\text{ см}^2\).