6) Дана трапеция с диагоналями \(5\sqrt{6}\) и \(10\sqrt{2}\). Угол между диагоналями, отмеченный на рисунке, равен \(120^\circ\). Найдите S.

Площадь выпуклого четырёхугольника выражается через диагонали \(d_1,d_2\) и угол \(\varphi\) между ними: \(S=\frac12 d_1d_2\sin\varphi\).

Подставим данные: \(S=\frac12\cdot5\sqrt6\cdot10\sqrt2\cdot\sin120^\circ\).

Так как \(\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\), получаем \(S=\frac12\cdot50\sqrt{12}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{75}{2}\).

Ответ: \(\frac{75}{2}\).