6) Дано: ABDA₁B₁C₁D₁ — куб. Доказать: BD₁ ⟂ A₁C₁.

Обозначим длину ребра куба через a. Введём координаты: A(0; 0; 0), B(0; a; 0), D(a; 0; 0), A₁(0; 0; a), C₁(a; a; a), D₁(a; 0; a).

1. Найдём векторы: \(\overrightarrow{BD_1}=(a; -a; a)\), \(\overrightarrow{A_1C_1}=(a; a; 0)\).
2. Вычислим их скалярное произведение: \(\overrightarrow{BD_1}\cdot\overrightarrow{A_1C_1}=a^2-a^2+0=0\).
3. Так как векторы ненулевые и их скалярное произведение равно нулю, соответствующие прямые перпендикулярны.

Ответ: \(BD_1 \perp A_1C_1\).