№6. Дано: \( \triangle ABC \) - равнобедренный. \( BC = 60 \text{ см} \), \( AM \) - медиана. \( AB = 38 \text{ см} \). Найти: длину медианы \( AM \)?

Решение:

Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный и \( AM \) - медиана, то \( AM \) является также высотой и биссектрисой.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, перпендикулярна основанию. Следовательно, \( AM \perp BC \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABM \) по теореме Пифагора:

\( AB^2 = AM^2 + BM^2 \)

Так как \( AM \) - медиана, \( BM = MC = \frac{1}{2} BC \).

\( BM = \frac{1}{2} \cdot 60 \text{ см} = 30 \text{ см} \).

Подставим известные значения:

\( 38^2 = AM^2 + 30^2 \)

\( 1444 = AM^2 + 900 \)

\( AM^2 = 1444 - 900 \)

\( AM^2 = 544 \)

\( AM = \sqrt{544} = \sqrt{16 \cdot 34} = 4\sqrt{34} \text{ см} \).

Примечание: В условии указано \( ABM = 38 \text{ см} \), что является длиной стороны, а не площадью. Если \( AB = 38 \text{ см} \), то решение верное.

Ответ: \( 4\sqrt{34} \text{ см} \).