Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Найдём векторы, исходящие из вершины A₁: \(\overrightarrow{A_1A_2}=(4,-6,4)\), \(\overrightarrow{A_1A_3}=(4,-1,2)\), \(\overrightarrow{A_1A_4}=(3,2,7)\).
а) Угол между рёбрами A₁A₂ и A₁A₄. По формуле скалярного произведения:
\(\overrightarrow{A_1A_2}\cdot\overrightarrow{A_1A_4}=4\cdot3+(-6)\cdot2+4\cdot7=28\).
Длины векторов равны \(2\sqrt{17}\) и \(\sqrt{62}\), поэтому \(\cos\alpha=\frac{28}{2\sqrt{17}\sqrt{62}}=\frac{14}{\sqrt{1054}}\).
б) Площадь грани A₁A₂A₃. Векторное произведение \(\overrightarrow{A_1A_2}\times\overrightarrow{A_1A_3}=(-8,8,20)\), его длина равна \(4\sqrt{33}\). Площадь треугольника — половина этой длины: \(S_{A_1A_2A_3}=2\sqrt{33}\).
в) Объём пирамиды. Смешанное произведение векторов равно \((\overrightarrow{A_1A_2}\times\overrightarrow{A_1A_4})\cdot\overrightarrow{A_1A_3}=-132\). Следовательно, \(V=\frac{|{-132}|}{6}=22\).
г) Уравнение прямой A₁A₄. Направляющий вектор прямой — \((3,2,7)\), поэтому
\[\frac{x+2}{3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+2}{7}.\]
д) Уравнение плоскости A₁A₂A₃. Нормальный вектор плоскости можно взять \((-2,2,5)\), поскольку он параллелен векторному произведению \((-8,8,20)\). Подстановка координат A₁ даёт уравнение \(-2(x+2)+2(y-3)+5(z+2)=0\), то есть
\[-2x+2y+5z=0.\]
е) Угол между ребром A₁A₄ и гранью A₁A₂A₃. Для угла \(\varphi\) между прямой и плоскостью \(\sin\varphi=\frac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v||\vec n|}\), где \(\vec v=(3,2,7)\), \(\vec n=(-2,2,5)\). Здесь \(|\vec v\cdot\vec n|=33\), поэтому \(\varphi=\arcsin\frac{33}{\sqrt{2046}}\).
ж) Высота из A₄ на грань A₁A₂A₃. Расстояние от A₄ до плоскости \(-2x+2y+5z=0\) равно \(\frac{|-2\cdot1+2\cdot5+5\cdot5|}{\sqrt{(-2)^2+2^2+5^2}}=\frac{33}{\sqrt{33}}=\sqrt{33}\).
Ответ: а) \(\arccos\frac{14}{\sqrt{1054}}\); б) \(2\sqrt{33}\); в) 22; г) \(\frac{x+2}{3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+2}{7}\); д) \(-2x+2y+5z=0\); е) \(\arcsin\frac{33}{\sqrt{2046}}\); ж) \(\sqrt{33}\).
