6. Даны три последовательных натуральных числа. Сравните: 1) квадрат среднего из этих чисел и произведение двух других; 2) удвоенный квадрат среднего из этих чисел и сумму квадратов двух других.

Обозначим три последовательных натуральных числа через \(n\), \(n+1\), \(n+2\). Среднее число — \(n+1\).

1. Сравним квадрат среднего с произведением крайних чисел:

   \((n+1)^2=n^2+2n+1\), а \(n(n+2)=n^2+2n\).

   Значит, \((n+1)^2=n(n+2)+1\), поэтому квадрат среднего числа больше произведения двух других.

2. Сравним удвоенный квадрат среднего с суммой квадратов крайних чисел:

   \(2(n+1)^2=2n^2+4n+2\).

   \(n^2+(n+2)^2=n^2+n^2+4n+4=2n^2+4n+4\).

   Значит, \(2(n+1)^2=n^2+(n+2)^2-2\), поэтому удвоенный квадрат среднего числа меньше суммы квадратов двух других.

Ответ: 1) квадрат среднего числа больше; 2) удвоенный квадрат среднего числа меньше.