6) \(\dfrac{(2x-1)^2(5+x^2)x^3}{(3x+5)(x-2)}\ge0\)

ОДЗ: \(3x+5\ne0\) и \(x-2\ne0\), то есть \(x\ne-\dfrac53\), \(x\ne2\).

Множитель \(x^2+5\) всегда положителен, а \((2x-1)^2\) неотрицателен и обращается в ноль при \(x=\dfrac12\). В остальных точках знак дроби определяется выражением \(\dfrac{x^3}{(3x+5)(x-2)}\).

Критические точки для знака: \(-\dfrac53\), \(0\), \(2\). Проверка знаков даёт отрицательное значение на \((-,-\dfrac53)\), положительное на \((-\dfrac53,0)\), отрицательное на \((0,2)\) и положительное на \((2,+\u001e)\). Точка \(0\) подходит, поскольку числитель равен нулю. Кроме того, подходит точка \(\dfrac12\), где квадратный множитель обращается в ноль.

Ответ: \(x\in\left(-\dfrac53,0\right]\cup\left\{\dfrac12\right\}\cup(2,+\infty)\).