6) \(\dfrac{(2x-1)^2\cdot(5+x^2)\cdot x^3}{(3x+5)(x-2)}\ge0\)

Область определения: \(3x+5\ne0\) и \(x-2\ne0\), поэтому \(x\ne-\dfrac53\) и \(x\ne2\).

Множитель \(x^2+5\) всегда положителен, а \((2x-1)^2\ge0\) и обращается в ноль при \(x=\dfrac12\). Для остальных точек знак дроби определяется выражением \(\dfrac{x^3}{(3x+5)(x-2)}\), то есть знаком \(\dfrac{x}{(3x+5)(x-2)}\).

Критические точки: \(-\dfrac53\) и \(2\) — исключённые значения; \(0\) и \(\dfrac12\) — нули числителя. Проверка знаков на промежутках даёт неотрицательное значение на \((-\dfrac53,0]\) и \((2,+\infty)\). Отдельно включаем \(x=\dfrac12\), где числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Ответ: \(x\in(-\dfrac53,0]\cup\{\dfrac12\}\cup(2,+\infty)\).