6. Диагональ AC четырёхугольника ABCD делит углы BAD и BCD пополам. Докажите, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны.

1. Так как AC делит угол BAD пополам, ∠BAC = ∠CAD. Так как AC делит угол BCD пополам, ∠BCA = ∠ACD.

2. В треугольниках ABC и ADC сторона AC общая, а прилежащие к ней углы попарно равны. Поэтому треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам.

3. Из равенства треугольников следует, что AB = AD и CB = CD. Значит, точки A и C равноудалены от B и D, поэтому обе лежат на серединном перпендикуляре к BD.

4. Следовательно, прямая AC является серединным перпендикуляром к BD.

Ответ: AC ⟂ BD.