6. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13 см, а диагонали его боковых граней равны 4√10 см и 3√17 см. Определить объем параллелепипеда.

Решение:

Пусть стороны прямоугольного параллелепипеда равны a, b, c. Диагональ параллелепипеда d связана с его сторонами формулой: \( d^2 = a^2 + b^2 + c^2 \).

Диагонали боковых граней равны \( d_{ab} \), \( d_{bc} \), \( d_{ac} \), где \( d_{ab}^2 = a^2 + b^2 \), \( d_{bc}^2 = b^2 + c^2 \), \( d_{ac}^2 = a^2 + c^2 \).

Из условия задачи имеем:

• \( d = 13 \) см, значит \( d^2 = 13^2 = 169 \).
• Диагонали боковых граней равны \( 4\sqrt{10} \) см и \( 3\sqrt{17} \) см. Без потери общности, пусть \( d_{ab} = 4\sqrt{10} \) и \( d_{bc} = 3\sqrt{17} \).
• Тогда \( d_{ab}^2 = (4\sqrt{10})^2 = 16 × 10 = 160 \).
• \( d_{bc}^2 = (3\sqrt{17})^2 = 9 × 17 = 153 \).

У нас есть система уравнений:

1. \( a^2 + b^2 + c^2 = 169 \)
2. \( a^2 + b^2 = 160 \)
3. \( b^2 + c^2 = 153 \)

Подставим (2) в (1):

\( 160 + c^2 = 169 \) \( → \) \( c^2 = 169 - 160 = 9 \) \( → \) \( c = 3 \) см.

Подставим \( c^2 = 9 \) в (3):

\( b^2 + 9 = 153 \) \( → \) \( b^2 = 153 - 9 = 144 \) \( → \) \( b = 12 \) см.

Подставим \( b^2 = 144 \) в (2):

\( a^2 + 144 = 160 \) \( → \) \( a^2 = 160 - 144 = 16 \) \( → \) \( a = 4 \) см.

Таким образом, стороны параллелепипеда равны 4 см, 12 см и 3 см.

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле \( V = a × b × c \).

\( V = 4 × 12 × 3 = 48 × 3 = 144 \) куб. см.

Ответ: 144 см³.