6. Диагонали AC и BD ромба ABCD равны соответственно 8 и 6. Найдите длину вектора: а) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\); б) \(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}\); в) \(\frac12\overrightarrow{AC}+\frac12\overrightarrow{BD}\); г) \(2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{OD}\).

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\vec u\), \(\overrightarrow{AD}=\vec v\). Тогда \(\overrightarrow{AC}=\vec u+\vec v\), \(\overrightarrow{BD}=\vec v-\vec u\), а так как ABCD — параллелограмм, \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}=\vec u\).

1. \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\vec u-\vec v=-(\vec v-\vec u)=-\overrightarrow{BD}\).

   Следовательно, длина вектора равна длине диагонали \(BD\): \(6\).

2. \(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}=\vec v-\vec u=\overrightarrow{BD}\).

   Длина вектора: \(6\).

3. \(\frac12\overrightarrow{AC}+\frac12\overrightarrow{BD}=\frac12(\vec u+\vec v)+\frac12(\vec v-\vec u)=\vec v=\overrightarrow{AD}\).

   Найдём длину стороны ромба. Половины диагоналей равны \(4\) и \(3\), поэтому

   \[AD=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5.\]

4. Точка \(O\) — середина диагонали \(AC\). Поэтому

   \[2\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{BD}=\vec v-\vec u.\]

   Тогда

   \[2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{OD}=2\vec u+\vec v-\vec u=\vec u+\vec v=\overrightarrow{AC}.\]

   Длина этого вектора равна длине диагонали \(AC\): \(8\).

Ответ: а) 6; б) 6; в) 5; г) 8.