6. Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону φ = ωt + βt²/2, где t — время в минутах, ω = 45°/мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а β = 6°/мин² — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки φ достигнет 4050°. Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

Подставим заданные величины в закон изменения угла и приравняем его к предельному значению:

\(4050=45t+\frac{6t^2}{2}\).

Упростим уравнение: \(3t^2+45t-4050=0\), или \(t^2+15t-1350=0\).

Дискриминант: \(D=15^2+4\cdot1350=5625\), поэтому \(\sqrt D=75\). Корни: \(t=\frac{-15\pm75}{2}\), то есть \(t=30\) или \(t=-45\). Отрицательное время не подходит.

Ответ: 30 минут.